Introduction

Dans l’article Le spine (statique) d’une flèche j’ai donné la définition du spine statique qui est une donnée "constructeur" pour indiquer la souplesse intrinsèque du tube. A la suite d’une série d’articles sur la mise en évidence ce fréquences propres audibles des flèches, j’ai discuté de la possibilité de définir une fréquence optimale d’oscillation dans l’article Fréquence optimale d’oscillation : première approche du spine dynamique. Le spine statique comme son nom l’indique donne une information sur la déformation statique du tube tandis que la fréquence d’oscillation approche l’aspect dynamique de la déformation lors de l’éjection de la flèche tout équipée. Le présent article est une tentative de donner un sens à ce qu’on appelle le spine dynamique

Rappels

Tout d’abord un petit rappel sur l’expression du spine statique :

$$ s_{stat} = \frac{F L^3}{48 E I} $$

où apparait au dénominateur

• un paramètre géométrique I qui est le moment d’inertie de matière transverse qui s’exprime en fonction de l’épaisseur e et le diamètre extéreiur du tube D par >$I = \pi/64(D^4-(D-2e)^4)$ ;
• et E est le module d’Young qui caractérise le matériau constituant la flèche, exprimée comme une pression (force par unité de surface) en MPa (méga-Pascal).
  Au numérateur apparait la longueur $L$ du tube entre les 2 appuis et $F$ le poids de la masse calibrée servant à la mesure.

Pour ce qui concerne les fréquences propres d’oscillations, il s’avère que l’on peut les mettre sous une forme générique de la façon suivante :

$$ \nu_{propre} = C \frac{1}{L^2} \left( \frac{E I}{\mu} \right)^{1/2} $$

avec $L$ la longueur tu be entre 2 extrémités auxquels s’appliquent des conditions aux limites des équations définissant la valeur de la constante $C$. Ces conditions portent sur la façon dont les extrémités du tube sont tenues (ou pas) et peuvent intégrer des masses ponctuelles (cf. la pointe !). Voir par exemple Faites sonner les flèches ! (Partie I). Le paramètre $\mu$ est la masse par unité de longueur, et on retrouve le produit des termes $E I$ vu dans la formule du spine statique.

Spine dynamique : proposition de formulation

Au vue des deux formules précédentes on peut tenir le raisonnement
suivant : imaginons que l’on soit capable de définir un critère d’optimisation qui donne une valeur de fréquence propre $\nu_o$ comme celle de l’article Fréquence optimale d’oscillation : première approche du spine dynamique, d’autre part si la flèche est soumise à une force latérale $F_{lat}$ issue d’un transfert partiel ($\eta <100\%$) de la force de propulsion $P$ alors, en éliminant le produit $E I$, on obtient une expression du spine dans le cas dynamique :

$$ s_{dyn} = \frac{\eta P \ C^2}{48 \mu\ L\ \nu_o^2} $$

Résumé

Dans cet article, j’ai mis ensemble deux concepts, le spine statique et les fréquences propres de vibrations pour tenter de dégager une expression de ce que l’on peut appeler le spine dynamique. Dans cette expression :

• $C$ ne dépend que des types de maintiens au niveau de l’encoche, le repose-flèche et intègre les masses aux extrémités, mais ne dépend pas de $L$. Cette constante dépend essentiellement de la flèche.
• $L$ est la distance entre les 2 points d’appuis ; cela dépend de l’allonge et de la position du repose-flèche.
• $P$ est la force de propulsion avec $\eta$ le facteur de transfert, cela dépend du type d’arc, de poulies, de l’allonge...
• $\nu_o$ va dépendre de vitesse d’éjection de la flèche donc des caractéristique de l’arc, de poulies...de la masse totale de la flèche.

Ce type d’expression permet de comprendre par exemple pourquoi certain disent qu’avec un over-draw c’est comme si les flèches s’assouplissaient. L’over-draw est le fait de reculer le repose-flèche pour raccourcir la distance encoche-repose-flèche. On s’aperçoit alors que $L$ diminuant toute chose par ailleurs restant identique, alors le spine dynamique augmente ! il n’en est pas de même du spine statique bien entendu car la flèche en elle-même n’a pas subi de transformation !

Maintenant, l’expression du spine dynamique n’est que qualitative. A suivre donc...