Introduction

Dans les articles Faites sonner les flèches ! (Partie I), Partie II, Partie III et Partie IV j’ai mis en évidence à la fois numériquement et théoriquement les fréquences propres de vibration de nos flèches. D’ailleurs ces vibrations étant dans le domaine audible, quand on frappe une flèche on produit l’équivalent d’une cloche qui sonne !

D’un autre coté, j’ai pu donner dans l’article Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion une estimation de la durée de la phase de propulsion de la flèche avant éjection. De plus cette durée a également été retrouvée lors de l’étude de la vibration de la corde chargée par le poids de la flèche (cf. Oscillations de la corde avec masselotte centrale (Partie II)).

L’idée est de coupler et de discuter ces deux résultats.

Nombre d’oscillations transverses

Il s’agit ici de dégager une idée pas de faire de calculs précis. On peut modéliser les oscillations transversales de la flèche soumise à un mouvement oscillant à la fréquence fondamentale $\nu_{osc}$ au niveau du ventre (amplitude maximale) se trouvant à peu près au milieu :

$$ A(t) \approx A \sin (2\pi \nu_{osc} t) $$

Ce point se déplace longitudinalement poussée par la corde qui propulse la flèche. Au bout d’une durée $\Delta t_{prop}$ ce point va sortir de fenêtre d’arc.

Le nombre d’oscillations que fait le ventre de la flèche est donc donné en première approximation par la formule :

$$ N_{osc} \approx \nu_{osc} \Delta t_{prop} $$

Durée de l’éjection

Dans l’article Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion j’avais donné une estimation du temps d’éjection. Ici je vais en donner une formulation algébrique manipulable basée sur l’idée que la force agissant sur l’encoche suit un profil en fonction de la distance horizontale parcourue (la position zéro de l’encoche étant prise quand on est à pleine allonge) :

De 0 à une certaine fraction $\eta$ de la longueur de propulsion L, la puissance est constante, ensuite elle diminue linéairement. En gros j’exclue la partie de remontée de la vallée qui tend à être de plus en plus réduite avec des arcs équipés de cams présentant un mur franc. Une fois les manipulations mathématiques que je laisse au lecteur, le temps de propulsion est donné par la formule

$$ \Delta t_{prop} = \left( \sqrt{2\eta} +\sqrt{1-\eta}\ \arccos\left(\frac{2\eta}{1+\eta}\right) \right)\sqrt{\frac{m L}{P_{max}}} $$

Le graphe de la fonction $f(\eta)$ qui ne dépend que de $\eta$ est le suivant :

En fait cette fonction est celle qui rend compte du type d’arc, du type de cam, et j’en passe, car le facteur qui dépend de $m$, $L$ et $P_{max}$ est ce que l’on peut deviner par une analyse dimensionnelle (cf. en se posant la question comment obtenir un temps avec ces paramètres). Les bornes sont données par les valeurs de $\sqrt{2}$ et $\pi/2$.

On constate que comme les paramètres ( $m$, $L$ et $P_{max}$) interviennent via une racine carré, donc le temps d’éjection y est peu sensible, par contre sa sensibilité vis-à-vis de la fonction dépendante de $\eta$ est plus grande.

Discussion

Dans l’article Faites sonner les flèches ! (Partie II), j’ai donné un tableau de mesures de fréquences propres de 2 types de flèches "identiques" sauf pour le spine :

• une ACE 670 donnant une fréquence fondamentale de 87.6Hz
• une ACE 520 donnant 94.5Hz

Sur le graphe ci-dessous, en trait [fond bleu][ivoire]bleu plein[/ivoire][/fond bleu] l’évolution transverse de l’ACE 670, et trait pointillée celle de l’ACE 520. Le trait vertical rouge est le résultat du calcul de la durée d’éjection avec les paramètres : 41lbs, 310grains, 25in.

On constate que l’ACE 670 sort après tout juste une oscillation alors que l’ACE 520 a amorcée une autre oscillation ce qui la fait partir de travers.

On pourrait donc en tirer un critère d’ajustement de l’optimum d’ajustement flèche-arc à savoir : choisir un jeu de ($m$, $\nu_{osc}$) une fois connu $L$, $P_{max}$ et la fonction $f(\eta)$. La fréquence $\nu_{osc}$ dépendant elle du spine, mais aussi de la longueur de la flèche, de la masse de la pointe...

En fait, il se pourrait que la fréquence idéale d’une flèche complète soit transposable en fréquence d’un tube nu laquelle n’est fonction que du spine statique de la flèche. Ainsi, on obtiendrait un équivalent "spine" que l’on baptiserait "spine dynamique"... A suivre.