Fréquence optimale d’oscillation : première approche du spine dynamique

mercredi 4 septembre 2013
par  _Jean-Eric_
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Introduction

Dans les articles Faites sonner les flèches ! (Partie I), Partie II, Partie III et Partie IV j’ai mis en évidence à la fois numériquement et théoriquement les fréquences propres de vibration de nos flèches. D’ailleurs ces vibrations étant dans le domaine audible, quand on frappe une flèche on produit l’équivalent d’une cloche qui sonne !

D’un autre coté, j’ai pu donner dans l’article Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion une estimation de la durée de la phase de propulsion de la flèche avant éjection. De plus cette durée a également été retrouvée lors de l’étude de la vibration de la corde chargée par le poids de la flèche (cf. Oscillations de la corde avec masselotte centrale (Partie II)).

L’idée est de coupler et de discuter ces deux résultats.

Nombre d’oscillations transverses

Il s’agit ici de dégager une idée pas de faire de calculs précis. On peut modéliser les oscillations transversales de la flèche soumise à un mouvement oscillant à la fréquence fondamentale $\nu_{osc}$ au niveau du ventre (amplitude maximale) se trouvant à peu près au milieu :

$$ A(t) \approx A \sin (2\pi \nu_{osc} t) $$

Ce point se déplace longitudinalement poussée par la corde qui propulse la flèche. Au bout d’une durée $\Delta t_{prop}$ ce point va sortir de fenêtre d’arc.

Le nombre d’oscillations que fait le ventre de la flèche est donc donné en première approximation par la formule :

$$ N_{osc} \approx \nu_{osc} \Delta t_{prop} $$

Durée de l’éjection

Dans l’article Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion j’avais donné une estimation du temps d’éjection. Ici je vais en donner une formulation algébrique manipulable basée sur l’idée que la force agissant sur l’encoche suit un profil en fonction de la distance horizontale parcourue (la position zéro de l’encoche étant prise quand on est à pleine allonge) :

De 0 à une certaine fraction $\eta$ de la longueur de propulsion L, la puissance est constante, ensuite elle diminue linéairement. En gros j’exclue la partie de remontée de la vallée qui tend à être de plus en plus réduite avec des arcs équipés de cams présentant un mur franc. Une fois les manipulations mathématiques que je laisse au lecteur, le temps de propulsion est donné par la formule

$$ \Delta t_{prop} = \left( \sqrt{2\eta} +\sqrt{1-\eta}\ \arccos\left(\frac{2\eta}{1+\eta}\right) \right)\sqrt{\frac{m L}{P_{max}}} $$

Le graphe de la fonction $f(\eta)$ qui ne dépend que de $\eta$ est le suivant :

En fait cette fonction est celle qui rend compte du type d’arc, du type de cam, et j’en passe, car le facteur qui dépend de $m$, $L$ et $P_{max}$ est ce que l’on peut deviner par une analyse dimensionnelle (cf. en se posant la question comment obtenir un temps avec ces paramètres). Les bornes sont données par les valeurs de $\sqrt{2}$ et $\pi/2$.

On constate que comme les paramètres ( $m$, $L$ et $P_{max}$) interviennent via une racine carré, donc le temps d’éjection y est peu sensible, par contre sa sensibilité vis-à-vis de la fonction dépendante de $\eta$ est plus grande.

Discussion

Dans l’article Faites sonner les flèches ! (Partie II), j’ai donné un tableau de mesures de fréquences propres de 2 types de flèches "identiques" sauf pour le spine :

  • une ACE 670 donnant une fréquence fondamentale de 87.6Hz
  • une ACE 520 donnant 94.5Hz

Sur le graphe ci-dessous, en trait [fond bleu][ivoire]bleu plein[/ivoire][/fond bleu] l’évolution transverse de l’ACE 670, et trait pointillée celle de l’ACE 520. Le trait vertical rouge est le résultat du calcul de la durée d’éjection avec les paramètres : 41lbs, 310grains, 25in.

On constate que l’ACE 670 sort après tout juste une oscillation alors que l’ACE 520 a amorcée une autre oscillation ce qui la fait partir de travers.

On pourrait donc en tirer un critère d’ajustement de l’optimum d’ajustement flèche-arc à savoir : choisir un jeu de ($m$, $\nu_{osc}$) une fois connu $L$, $P_{max}$ et la fonction $f(\eta)$. La fréquence $\nu_{osc}$ dépendant elle du spine, mais aussi de la longueur de la flèche, de la masse de la pointe...

En fait, il se pourrait que la fréquence idéale d’une flèche complète soit transposable en fréquence d’un tube nu laquelle n’est fonction que du spine statique de la flèche. Ainsi, on obtiendrait un équivalent "spine" que l’on baptiserait "spine dynamique"... A suivre.


Commentaires

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Fréquence optimale d’oscillation : première approche du spine dynamique
vendredi 18 janvier 2019 à 11h46 - par  Jean B

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Effectivement il semble possible qu’une flèche qui a amorcé une oscillation au moment de sa sortie puisse partir de travers. Peut être également que pour certains types de repose-flèche, il y a un risque que l’arrière de la flèche heurte la poignée de l’arc ? Je vais réfléchir à tout ça ...

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Fréquence optimale d’oscillation : première approche du spine dynamique
mardi 1er janvier 2019 à 22h01 - par  Jean B

Bonsoir,
Tout d’abord merci pour ce site ! Il est vraiment très bien fait et tout le travail effectué sur la partie ’modélisation mécanique’ m’intéresse particulièrement. Difficile de trouver d’autres sources francophones traitant du sujet comme vous le faite ! ;)
En lisant cet article sur le spine dynamique m’est venue une question : pourquoi la flèche qui a amorcée une oscillation lors de sa sortie part-elle de travers ? Et est-ce que cela a un impact conséquent sur la précision du tir ?(étant donné que peu de personnes prennent en compte les oscillations de leurs flèches !)

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mardi 8 janvier 2019 à 11h50 - par  _Jean-Eric_

Bonjour Jean,
Merci pour vos encouragements surtout que le site avait du fermer en Septembre 2015 car a l’époque j’étais chez un autre hébergeur qui avait fermé. Donc, il se peut que certain(e)s aient essayé de trouver le site "Du jaune dans le Cosmos" qui était l’ancien nom du site...

Bref, pour en revenir à nos flèches qui oscillent. En premier lieu dans cet article, je ne prétends pas à l’exactitude, c’est plus pour sentir les choses. Je pense qu’il faut prendre en compte les efforts transversaux si la fleche sort alors quelle amorce une nouvelle oscillation en etant encore sur le repose-fleche alors elle va prendre appuis sur ce dernier et a sa liberation elle tournera ; ce n’est pas pas comme une fleche libre qui oscille, là il y a une contrainte. Sinon, pour la seconde partie de la question/remarque, je pense qu’au contraire on y fait gaffe sans le savoir, car si on utilie un logiciel de type OnTarget pour ajuster les parametres de ses fleches en fonction de ceux de son arc (type, forme de cam, puissance, allonge,etc) en fait c’est pour ajuster le type de tube, la longueur du tube, le poids de pointe (et des autres elements) au profil de propulsion de l’arc. C’est en fait comme cela que l’on parle de "spine dynamique", c’est un parametre peut-etre reducteur mais qui dit bien que la fleche qui subit grosso modo une poussee de pres de 700 fois sa masse va reagir differemment que par une simple flexion du un un poids de 800g comme dans de la mesure statique du spine. Donc, sans le savoir un archer fait de l’ajustement de frequence d’oscillation pour garantir une bonne sortie de fleche.