Gain de vitesse : Oscillations de la corde avec masselottes (Partie IV)

mercredi 19 septembre 2012
par  _Jean-Eric_
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Introduction

Dans l’article Gain de vitesse : Oscillations de la corde avec masselottes (Partie III, rev. 19/9/12) [1] j’ai abordé le cas d’une corde vibrante chargée en 3 endroits :

  • en son milieu par une masse $M$ représentative de la flèche à propulser avec la plus grande vitesse possible ;
  • de par et d’autre de son milieu à une position $\xi$ des 2 extrémités avec des masselottes de masse $m$ chacune.

J’ai également illustré le résultat pour une configuration où

  • $M = 300$gr, $L=39$in (ATA)
  • $P = 50$lbs
    Il y a bien un gain de vitesse trouvé mais il est de 3fps soit environ 1% de la vitesse sans masselotte.

Après discussion avec des archers ayant des masselottes sur leur cordage d’origine, et en particulier un qui avait oublié de les mettre lors d’un changement de cordage, il est apparu que des gains substantiels ont été mesurés. L’idée de cet article est donc de voir si le modèle développé dans l’article [1] ci-dessus mentionné est capable de rendre compte de ces gains.

Etude de cas

Le point le plus critique est sans doute la détermination de la longueur "effective" de la corde. En effet celle-ci influe directement sur le spectre en nombre d’onde $k$ déterminé par l’équation transcendante (Eq.8 [1]) puisque ces deux quantités sont liés par leur produit $k\times L$. Ce produit intervient également dans la définition des modes propres de la corde vibrante. Cette longueur intervient également dans l’allonge $H$.

Tout ceci influe sur le coefficient $\alpha$ intervenant dans le résultat de la vitesse de libération $v_{max} = \alpha \times c$. La vitesse $c$ de propagation des vibrations le long de la corde est quant à elle gouvernée par la puissance (via la tension de la corde) et la masse linéique de la corde $m_c = \mu_c \times L$ selon la relation

$$ c \approx 581.7 fps \sqrt{\frac{P}{50lbs}} \sqrt{\frac{2 gr/in}{\mu_c}} $$

Envisageons par exemple le cas suivant :

  • $M = 300$gr, $L = 59$in (ici longueur totale de la corde quasiment celle quand elle est dépliée à plaine allonge)
  • $P = 60$lbs, ce gain de puissance fait mécaniquement augmenter la vitesse de 10% puisque $c \approx 637$fps.

La vitesse de libération sans masselotte est de $v_{max}^0 = 0.387 c \approx 246$fps. La question donc est de savoir quelles sont les configurations $(m,\xi)$ (masse et position des masselottes) qui donnent un gain de vitesse et quel est son ordre de grandeur.

Voici la réponse (qui m’a pris plusieurs jours de Mathematica sur mon PC) sous forme de courbes de niveau (Fig. 1) :

Sur cette figure un peu chargée on y voit :

  • en abscisse (horizontale) le rapport $m/M$, et sur l’ordonnée (verticale) le rapport $\xi/L$
  • le point vert en (0,0) qui indique la valeur de la vitesse max. sans masselotte (le signe - est du à l’orientation de l’axe vertical voir les article précédent).
  • les courbes de niveau d’égale valeur de vitesse maximale. Plus la valeur absolue des chiffres indiqués est grande plus la vitesse est grande. On s’aperçoit qu’il y a beaucoup de configuration (masse, position) qui font gagner de la vitesse par rapport au point "vert".
  • 3 régions entourées en rouge.
  • 3 coupes (voir après)

Les régions entourées sont celles qui présentent un intérêt car elles offrent un gain "maximal". Il y a les configurations $(m/M,\xi/L)$ suivantes :

  • (35%,10%), ou $m\approx 100$gr, $\xi \approx 6$in qui donne une vitesse maximale $v_{max}^1 \approx 0.46 c \approx 293$fps soit 47fps de plus que $v_{max}^0$
  • (25%,23%) , ou $m\approx 75$gr, $\xi \approx 13.5$in qui donne une vitesse maximale $v_{max}^2 \approx 0.48 c \approx 306$fps soit 60fps de plus que $v_{max}^0$
  • (30%,30%), , ou $m\approx 90$gr, $\xi \approx 18$in qui donne une vitesse maximale $v_{max}^1 \approx 0.49 c \approx 312$fps soit 66fps de plus que $v_{max}^0$.

Sur la figure suivante (Fig.2) je présente les courbes issues des coupes notées sur la Fig.1 :

On remarque que les coupes 1 et 2 qui donne l’évolution de la vitesse maximale en fonction de $\xi/L$ à $m/M$ fixé sont beaucoup plus chahutées que celle à $\xi/L$ fixée (coupe 3). Ceci reflète la finesse des résonance des modes propres de vibrations de la corde.

Enfin, sur la figure ci-dessous je présente une vision 3D du gain de vitesse en fonction de $\xi/L$ et de $m/M$. En dessous de la surface bleuté il y a un gain de vitesse tandis qu’au dessus il y a une perte de vitesse par rapport à la configuration sans masselotte. Les configurations intéressantes données ci-dessus sont au fond des fausses abyssales.

Discussion

Donc, on voit que dans cette configuration le gain de mettre des masselottes au bon endroit est très significatif (20%) par rapport à ne pas mettre de masselottes du tout. La coupe 2 qui traverse les 3 régions d’intérêts montre bien l’évolution du gain (plus la courbe passe en dessous de la ligne rouge plus on gagne) en fonction de la position des masselottes de 75gr environ.

Je préconiserai donc de ne pas hésiter à utiliser des masselottes (3 o u 4 de 20 grains en haut et en bas) et de les déplacer progressivement de 1in en 1in jusqu’à obtenir la première résonance. Au delà la vitesse remonterait brusquement quasiment à la vitesse sans masselotte.

Il n’en reste pas moins que la longueur de corde joue un rôle important. Ayant investigué 39in et 59in j’ai obtenu des résultats significativement différents.

A suivre donc si des archers pouvaient faire la mainp et me donner un feed back/retour de leur expérience.

Tests

Voici un test fait par un archer ayant mis des masselottes de 60gr. Il les a progressivement déplacées en les éloignant des Cam. On voit bien une phase de gain puis de perte. Maintenant la valeur de 4fps et difficile à prédire "a priori". A posteriori on peut toujours bricoler le modèle pour ajuster en particulier la longueur effective de la corde, mais rien ne vaut le teste en vraie grandeur. L’effet est là, ce qui est déjà un point certain.


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