Tolèrance sur le poids des flèches à 50m ?

dimanche 27 mai 2012
par _Jean-Eric_
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Introduction

Avec des collègues archers, lors d’une séance de recyclage de flèches (cf. recoupe pour mise à l’allonge), on s’est posé
la question de l’influence de la diffèrence de poids des flèches sur la précision en cible à 50m (compound) ?

Je vais me servir des articles Dynamique d’une fléche en phase de vol (Partie I) et Dynamique d’une fléche en phase de vol (Partie II) pour esquisser une première réponse dans le cadre d’un tir horizontal
sans influence de l’air.

La trajectoire ’idéale’ en fin de course

Nous savons que la trajectoire de la flèche est balistique, mathématiquement c’est une parabole dont l’équation est la suivante :

$$ Y(X) = \tan\alpha_0\ X - \frac{g}{2}\frac{X^2}{(v_0 \cos\alpha_0)^2} $$

avec les notations

$X$ et $Y$ les coordonnées respectivement de l’horizontale (abscisse) et de la verticale (ordonnée) ;
$\alpha_0$ l’angle initial de la flèche par rapport à l’horizontal, et $v_0$ sa vitesse initiale. Typiquement, pour un arc sortant à 300fps ( 90m/s), pour atteindre son but à 50m il faut un angle de 30mrad ( 3cm par mètre). Dans
ces conditions on pourra faire (cela sera mentionné) les approximations $\tan \alphs_0 \approx \alpha_0$ et $\cos \alpha_0 \approx 1$ ;
$g \approx 10 m/s^2$ est l’accélération de la pesanteur.

Au moment où la flèche va entrer en cicle à l’abscisse $X = X_F$, alors
la trajectoire peut s’écrire par un argument de symétrie de la parabole par rapport à son maximum :

$$ Y(X) = - \tan\alpha_0\ (X-X_F) - \frac{1}{2}g\frac{(X-X_F)^2}{(v_0 \cos\alpha_0)^2} $$

et il y a une relation qui définit en fait la valeur de $\alpha_0$ connaissant $v_0$ et la distance à atteindre $X_F$ (ici 50m), à savoir

$$ X_F = \frac{v_0^2}{g}\sin 2 \alpha_0 $$

Une flèche de masse anormale !

Mettons que l’on ait un lot de flèches de masse/poids $m$ et une flèche atypique de poids $m^{’}$. La vitesse
d’éjection de la flèche est liée à son poids par une relation de conservation de l’énergie (voir Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion) telle que

$$ v_0^2 \propto \frac{1}{m} $$

Donc une variation $\Delta m = m^{’}-m$ va induire une variation de vitesse initiale $\Delta v_0 = v_0^{’}-v_0$ telle que

$$ 2 \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{\Delta m}{m} $$

Or ce changement de vitesse induit également un changement de la trajectoire mais l’archer n’a pas connaissance de la différence de poids de flèche et
donc garde le même $\alpha_0$ donc

$$ X_F^{’} = \frac{v_0^{’ 2}}{g}\sin 2 \alpha_0 $$

et $\Delta X_F = X_F^{’}-X_F$ va être liè à $\Delta v_0$ et donc $\Delta m$ part

$$ \frac{\Delta X_F^{’}}{X_F} = 2 \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{\Delta m}{m} $$

La nouvelle trajectoire en bout de course est donnée par

$$ Y^{’}(X) = -\tan\alpha_0\ (X-X^{’}_F) - \frac{g}{2}\frac{(X-X^{’}_F)^2}{(v_0^{’} \cos\alpha_0)^2} $$

Donc à l’abscisse de la cible (qui est restée à $X = X_F$ !!!) on a un décalage vertical égal à

$$ \Delta Y = Y^{’}(X_F) = \tan\alpha_0\ (X_F-X^{’}_F) - \frac{1}{2}g\frac{(X_F-X^{’}_F)^2}{(v_0^{’} \cos\alpha_0)^2} $$

qui peut s’écrire aussi

$$ \Delta Y = \tan\alpha_0\ \Delta X_F - \frac{g}{2(v_0 \cos\alpha_0)^2} \Delta^2 X_F $$

(nb. dans le dernier terme on a fait l’approximation $v_0^{’} = v_0$ car c’est une correction sous dominante)

En exprimant $\Delta X_F$ et fonction de $\Delta m$ et en remplaçant $X_F$ par son expression en fonction de $v_0$ et $\alpha_0$
alors il vient

$$ \Delta Y = - 2 \frac{v_0^2}{g} \sin^2 \alpha_0 \frac{\Delta m}{m}\left[ 1 + \frac{\Delta m}{m} \right] $$

En faisant l’approximation justifiée plus haut des petits angles $\alpha_0$, et en remplaçant $\alpha_0$ par son expression en fonction de $X_F$,
et finalement en laissant tomber le dernier terme dans la parenthèse de l’expression ci-dessus, on en déduit l’expression du décalage verticale

$$ \Delta Y = - 2 \frac{g X_F^2}{v_0} \frac{\Delta m}{m} $$

Application numérique

Mettons que l’on ait une vitesse de sortie de 300fps (= 90m/s) et que l’on tire à 50m alors la formule de la section précédente nous donne

$$ \Delta Y = 1.5[\mathrm{cm}] \times 100\ \frac{\Delta m}{m}[\%] \times \left(\frac{L[\mathrm{m}]}{50}\right)^2 \times \left(\frac{300}{V[\mathrm{fps}]}\right)^2 $$

(nb. les unités des différentes variables sont entre les "[]")

Exemple : sur un blason de 80cm, le 10 est un disque de 8cm de diamètre, donc si on se fixe un maximum de déplacement vertical de 4cm (cf. le rayon)
alors pour une flèche de poids moyen de 300 grains, on n’accepte pas des flèche de poids variant de plus de 8 grains par rapport au poids moyen.

Cette tolérance dans les mêmes conditions de poids moyen de 300 grains (et toujours une défection maximale de 4cm a 50m) est grandement changée si
la vitesse de la flèche n’est pas de 300 fps, en effet l’écart miximum de poids varie comme la vitesse au carré à savoir

$$ \Delta m = 8 \mathrm{grains} \times \left(\frac{V[\mathrm{fps}]}{300}\right)^2 $$

ainsi une vitesse de 240fps (= 73m/s) restreint la tolérance à 5 grains.

A quoi pourrait correspondre une telle différence de poids entre 2 flèches ?

en premier lieu tout chose égale par ailleurs, une différence de longueur par exemple des ACE de spine 670 sont données a 5.9 grains/inch
des spine 520 cela correspond à 6.7 grains/inch
il y a également la quantité de graphite utilisée. Ceci correspond à la valeur C2, C4 par exemple notée à coté de la valeur du spine pour les ACE. Par exemple, des flèches montées de manières identiques (encoche, plumes, pointe, longueur) j’obtiens :
- pour des ACE 670 C2 une fourchette de 288.1 grains à 289.3 (9 flèches)
- pour des ACE 670 C4 une fourchette de 299.2 grains à 301.1 grains (8 flèches)

Il est clair que à l’intérieur d’un lot de flèches de même "C" l’écart maxi est de l’ordre de 1 grain, mais l’erreur serait fatale si on mélangeait des flèches de "C" différents : entre des C2 et des C4 des lots ci-dessus cela donnerait 11 grains de différence !!!