Introduction

Cet article est le troisième volet d’une série d’articles (voir aussi) voués à l’étude de la phase de vol d’une flèche après sa phase de propulsion (Dynamique (simple) d’une fléche en phase de propulsion). Jusqu’à lors le modèle permettant de décrire la trajectoire de la flèche (de son centre de gravité pour être plus précis) ne tenait compte que de la force de pesanteur (son poids). Dans cet article nous allons introduire les frottements de l’air, afin de déterminer l’importance relative de cette force qui s’oppose au mouvement de la flèche.

Que fait l’air ?

L’air est composée d’un ensemble de molécules (75% di-azote, 23% di-oxygène, et des traces d’autres choses) qui sont en perpétuel mouvement d’agitation thermique et frappent tout objet d’un flot continue de petites pichenettes. Nous supposerons qu’il n’y a pas de mouvement global de masse d’air (le vent quoi).

Il serait vain de vouloir décrire l’ensemble des interactions individuelles des molécules d’air avec la flèche en mouvement : pensez dans 1 litres d’air il y a environ [1] $3\ 10^{22}$ (un 3 suivi de 22 zéros) molécules d’air !!!

La mécanique des fluides (physique des mouvements de et dans les corps visqueux) a définit des régimes dans lesquels des lois s’appliquent pour décrire globalement la résultante des interactions microscopiques. Il se trouve que dans le cas de mobile qui se déplace dans un fluide au repos il y a deux forces à rajouter à la pesanteur : la force de portance perpendiculaire à la direction du mouvement, et la force de traînée qui s’oppose au mouvement. Nous allons nous intéresser dans cet article à la force de traînée.

Aux vitesses considérées, le mouvement des particules à l’intérieur des couches d’air enrobant la flèche qui globalement sont entraînées avec elle à la vitesse $\vec{v}$, va donner lieu à une dissipation d’énergie (en volume) $\frac{1}{2}\rho_{air} v^2$ avec $\rho_{air}$ la masse par unité de volume de l’air [2]. Une analyse dimensionnelle permet de conclure que cette dissipation d’énergie volumique d’unité $kg/m^3 \times (m/s)^2 (= kg/m/s^2)$ multipliée par une surface de référence $S_{og}$ (ex. la section de la flèche exprimée en $m^2$ est homogène à une force notée $\vec{F}_{tr}$ dont l’unité est $kg \times m /s^2$ diviseé. Ainsi, l’expression de $\vec{F}_{tr}$ se met sous la forme générale :

$$ \boxed{ \vec{F}_{tr} = - \frac{1}{2} \rho_{air} S_{og} C_x v^2 \vec{u}_{v} } \quad\quad\quad\quad (1) $$

Notez bien le signe $-$ qui indique l’opposition au mouvement. Le vecteur $\vec{u}_v$ indique juste la direction de la vitesse. Nous avons introduit un coefficient sans dimension $C_x$ qui dépend de la géométrie de l’objet mobile (cf. la flèche). En toute généralité, ce coefficient peut dépendre lui-même de la vitesse $v$ à travers des nombres sans dimensions (ex. nombre de Reynolds, de Mach…). Dans la suite nous considérerons ce coefficient comme constant ainsi que $S_{og}$, et dans une large mesure la densité de l’air est également constante. Dans la suite, nous adopterons l’expression simplifiée suivante :

$$ \boxed{ \vec{F}_{tr} = - m C_b v^2 \vec{u}_{v} }\quad\quad\quad\quad (2) $$

avec $C_b$ un coefficient exprimé en $m^{-1}$ (« l’inverse d’une longueur ») qui est nommé coefficient balistique dans le domaine de l’aéronautique.

Expression du coefficient balistique

Il n’est pas question ici de faire un cours complet de mécanique des fluides, nous ferons donc un résumé et renvoyons le lecteur intéressé vers une bibliographie adaptée [3].

Le coefficient balistique a pour expression (1,2)

$$ \boxed{ C_b = \frac{\rho_{air}}{2 m} S_{og} C_x } \quad\quad\quad\quad (3) $$

avec $\rho_{air} \approx 1.225 \ 10^{-3}$ g/cm${}^3$ au niveau de la mer [4] et nous prendrons une flèche IBO de 350 grains (soit 22,7 g). La surface de référence est prise comme étant la section de la flèche soit en fonction de son diamètre $D$ a pour expression $S_{og} = \frac{\pi}{4} D^2$.

Donc, l’étude du coefficient balistique revient à l’étude du produit $S_{og} C_x$ dont l’origine provient : de la pression exercée sur la pointe de la flèche (ou ogive dans le cas d’une fusée), la friction sur le fuseau (en bois, carbone, alu, mélange alu-carbonne) et les empennages (en plume, plastique), et la traînée en aval du fuseau (ou culot) et des empennages.

La figure suivante présente l’écoulement de l’air dans les environs immédiat de la flèche. L’image grise est une photo réelle de l’écoulement aux abords du fuselage d’une petite fusée allant à Mach 3.

Nous allons passer en revue les différentes contributions au coefficient balistique.

La pression sur la pointe

La pression sur la pointe est la contribution à laquelle tout à chacun pense en premier. En effet, cette impression de force qu’exerce le vent quand on se trouve près de la mer par exemple laisse des traces dans nos réactions a priori.

Ceci dit, des études en soufflerie ont montré que des pointes dont la partie effilée a une longueur égale à son diamètre (cf. élancement de 1) donne une contribution égale à

$$ \boxed{ \begin{align*} C_x^{pointe} &= 0.40 \quad\quad \mathrm{(pointe\ conique)}\\ C_x^{pointe} &= 0.05 \quad\quad \mathrm{(pointe\ parabolique)} \end{align*} }\quad\quad\quad\quad (4) $$

La friction sur le fuseau

A la suite du contournement de la pointe, l’air va se trouver en contact avec le fuseau de la flèche (le fuseau pour faire cour). Les molécules d’air vont interagir avec la surface à la fois sous forme d’une force de pression perpendiculaire à la surface cylindrique donc sans importance dans notre cas, et sous forme d’une force de friction qui s’oppose au mouvement de la flèche. L’intensité de la friction dépend du type d’écoulement qui lui-même dépend de la valeur d’un coefficient nommé nombre de Reynolds ($R_e$). $R_e$ représente l’importance relative des forces non-visqueuses vis-à-vis des forces visqueuses qui vont toutes deux agir sur un élément de volume d’air aux abords du fuseau. Il est remarquable que des situations diverses ayant des valeurs de $R_e$ identiques donnent des écoulements identiques. Ce résultat dû à Stokes (1851) et Reynolds (1883) justifie l’usage de maquette par exemple pour profiler les objets comme les voitures, les avions, les fusées mais aussi les bateaux et les sous-marins qui tous évoluent dans des milieux plus ou moins visqueux. L’expression générale de $R_e$ est

$$ R_e = \frac{v L}{\nu}\quad\quad\quad\quad (5) $$

avec

• $v$ une vitesse caractéristique de l’écoulement. Dans le cas présent, la vitesse de la flèche est une valeur caractéristique et sauf mention du contraire nous prendrons $v_0 = 100 $m/s comme ordre de grandeur. (on est pas à un facteur 2 prés donc cette valeur couvre un large spectre de cas de figures) [5]
• $L$ également une longueur caractéristique. Comme nous envisageons l’écoulement le long du fuseau, alors il est indiqué de considérer la longueur de la flèche. Par défaut, nous prendrons $L = 27,5 inches$ (soit environ 70 cm).
• $\nu$ est la viscosité de l’air qui est égale à $1,4\ 10^{-5}\ \mathrm{m}^2$/s à 20°C [6]

Si nous injectons les valeurs de références ci-dessus dans l’expression (5) alors cela donne

$$ R_e = \frac{100 \times 0.7}{1,4\ 10^{-5}} \approx 5\ 10^6 $$

De plus la surface caractéristique dans le cas de l’écoulement le long de la flèche est naturellement la surface développée du cylindre constituant le fuseau $S_{fus}$. Ainsi il y a une relation entre le coefficient $C_x$ dont la surface de référence est $S_{og}$ et le coefficient de friction $C_f$ :

$$ \begin{align*} C_x^{fus} S_{og} &\equiv C_f^{fus} S_{fus} \\ \mathrm{avec} \quad S_{fus} & = \pi L D \end{align*} $$

La figure ci-dessous donne un exemple de valeur de $C_f$ en fonction de la valeur du $R_e$ et de l’état de surface du fuseau.

Si la surface est parfaitement lisse, pour des valeurs de $R_e < 5\ 10^5$ alors le coefficient de friction suit une loi empirique des écoulements laminaires ([bleu clair]courbe bleu clair[/bleu clair]). Pour une valeur comprise dans l’intervalle typique $5\ 10^5 \leq R_e \leq 5 10^6$ l’écoulement est transitoire (courbe rouge) entre un régime laminaire et un régime turbulent d’écrit par la [bleu marine]courbe bleue foncée [/bleu marine] et dépend également de l’état de surface qui peut induire une saturation du coefficient de friction (rugueux) à une valeur donnée par le [mauve fonce] trait horizontal rose [/mauve fonce].
La valeur de notre $R_e$ indique que soit on est en présence d’un écoulement limite turbulent, ou bien rugueux selon l’état de surface, mais en aucun cas laminaire.

Supposons que notre fuseau a des aspérités moyennes de $R_a =10\mu \mathrm{m}$, la rugosité relative est définie comme

$$ R_r = \frac{R_a}{L} = 1,5\ 10^{-5} $$

et le coefficient de friction rugueux sur le fuseau a pour expression empirique (indépendante de $R_e$)

$$ C^{fus}_{f-rug} \approx 0,032 R_r^{0,2} = 3,4\ 10^{-3} \quad\quad\quad\quad (6) $$

On constate donc pour notre valeur de $R_e = 5\ 10^6$ qu’il y a deux cas de figure selon la rugosité de la surface du fuseau :

• soit la rugosité de la surface est $R_a \leq 10 \mu \mathrm{m}$ alors le coefficient $C_x$ est dominé par la courbe des écoulements transitoire/turbulent et
  

  $$ C_x^{fus}\approx \frac{0,031}{R_e^{1/7}} \frac{S_{fus}}{S_{og}}\approx 3\ 10^{-3} \frac{S_{fus}}{S_{og}} \quad\quad (R_r \leq 10^{-5}) $$

• soit la rugosité de la surface est $R_a \geq 10 \mu \mathrm{m}$ alors le coefficient $C_x$ est dominé par un écoulement rugueux donné par l’expression (6)
  

  $$ C_x^{fus} \approx 0,032 R_r^{0,2} \frac{S_{fus}}{S_{og}} \quad\quad (R_r \geq 10^{-5}) $$

A titre indicatif, une dimension de $100 \mu \mathrm{m}$ correspond à l’épaisseur d’un cheveu, et $20 \mu \mathrm{m}$ à celle d’une feuille de papier alu, et $3\mu \mathrm{m}$ celle d’un globule rouge. Nous prendrons la valeur indicative de $C_f =3 10^{-3}$ pour la suite car des aspérités de l’ordre 1/10e de la taille d’un cheveu n’est pas à exclure...

Donc pour une flèche de diamètre $D = 6$ mm, cela donne

$$ \boxed{ C_x^{fus}\approx 3 10^{-3}\frac{4 L}{D} \approx 1,4 }\quad\quad\quad\quad (6b) $$

On constate déjà à ce stade que la contribution de la pression sur la pointe est bien inférieure à la contribution de la friction sur le fuseau de la flèche ! Ce n’était pas évident, n’est-ce pas ?

La friction sur les empennages

L’épaisseur de la couche d’air perturbée par le fuseau dépend de la distance $x$ [m] à la pointe par la formule :

$$ e [mm] \approx 33 \frac{x^{6/7}}{v^{1/7}} $$

A 100 m/s au bout de la flèche de 70 cm, l’épaisseur est de $e = 12 $mm ! Et notez que moins la flèche est véloce plus la traînée est importante. Ainsi, les empennages sont dans un flux d’air turbulent généré par la friction en amont sur le fuseau de la flèche.

L’évolution du coefficient de friction sur les 6 faces des empennages va donc suivre la [bleu marine] courbe bleue foncée [/bleu marine] (Coefficient de friction) ou bien une valeur constante à cause de la rugosité des surfaces. Mais attention, le nombre de Reynolds n’est pas le même que pour le fuseau de la flèche. En effet, dans l’expression (5), la dimension $L$ typique d’un empennage est sa longueur moyenne. Mettons pour avoir un ordre de grandeur que $L_{emp} = 30$ mm, alors

$$ R_e = \frac{100 \times 0.03}{1,4\ 10^{-5}} \approx 2\ 10^5 $$

Ainsi, le coefficient de friction (courbe [bleu marine]bleue foncée[/bleu marine]) est égal à

$$ C_f^{emp} = \frac{1}{\left( 1,503 \ln R_e -5,6 \right)^2} \approx 6\ 10^{-3} $$

Si la rugosité est supérieure à $7 \mu \mathrm{m}$ alors il faut prendre une expression similaire à (6) avec $L = 30$ mm.

De cette valeur du coefficient de friction, nous en déduisons l’expression du $C_x$ en totalisant les 6 faces des 3 empennages :

$$ \boxed{ C_x^{emp} = 6 C_f^{emp} \frac{S_{emp}}{S_{og}} \approx 6 \times 6\ 10^{-3} \frac{2,8 \mathrm{cm}^2}{\pi/4 (0,6^2) \mathrm{cm}^2} \approx 0,4 }\quad\quad\quad\quad (7) $$

Les traînées

A l’arrière de la flèche, l’air est également perturbé. En quelque sorte, il garde en mémoire les frictions en amont, et va agir sur le mouvement de la flèche par un effet de dépression. Ces perturbations, nommées traînées d’arrière corps, ont deux origines : l’arrière du fuseau au niveau de l’encoche, et l’arrière des empennages.

Pour ce qui concerne l’arrière du fuseau, l’expression du coefficient $C_x^{arr. fus}$ (rappel : la surface de référence est toujours $S_{og}$) a une expression empirique simple faisant intervenir le $C_x^{fus}$ (6b)

$$ \boxed{ C_x^{tr. fus} = \frac{0,029}{\sqrt{ C_x^{fus}}} \approx 0,02 }\quad\quad\quad\quad (8) $$

Pour ce qui concerne les 3 empennages, il faut prendre en considération : leur épaisseur que l’on peut estimer grossièrement à $e_{emp} \approx 0,5$ mm, leur longueur $L_{emp}\approx 30 $mm, leur surface frontale [7] $S_{front. emp} \approx 3,5\ \mathrm{mm}^2$, et le coefficient de friction $C_f^{emp}= 6\ 10^{-3}$ ayant servi à calculer $C_x^{emp}$. Ainsi, l’expression empirique donne

$$ \boxed{ C_x^{tr. emp} = 3 \times \frac{0,135}{\left( 2 C_f^{emp} L_{emp}/e_{emp}\right)^{1/3}} \frac{S_{front. emp}}{S_{og}} \approx \frac{3 \times 0,135 \times 3,5\ 10^{-2}}{0,28 \times \left( 2 \times 6\ 10^{-3}\times 30/0,5\right)^{1/3}} \approx 0,06 }\quad\quad\quad\quad (9) $$

Il est notable que le coefficient balistique de la traînée des empennages est supérieur à celui de la traînée de l’arrière du fuseau.

Bilan et perspectives

Faisons à présent un bilan de toutes les contributions au $C_x$ total :

$$ \boxed{ \begin{align*} C_x^{tot} &= 1,40\quad (\mathrm{fuseau})\\ &+ 0,40\quad (\mathrm{empennages})\\ &+ 0,05 \div 0,40\quad (\mathrm{pointe})\\ &+ 0,06\quad (\mathrm{traine\ empennages})\\ &+ 0,02\quad (\mathrm{traine\ fuseau})\\ &\approx 1,93 \div 2,28 \end{align*} }\quad\quad\quad\quad (10) $$

On constate que la friction sur le fuseau dû à la longueur de la flèche est responsable d’environ 70% du $C_x$ total. Ainsi, pour tirer sur de longues distances, il faut privilégier des flèches de petits diamètres et à la surface la plus lisse possible. Choisir des pointes paraboliques (Easton mentionne ce détail) est plus judicieux que d’essayer des pointes coniques. Autre chose, attention aux empennages, qui plus ait à leur collage ! En effet, un empennage défectueux perturbe notablement la trajectoire de la flèche et l’on comprend pourquoi (nb. c’est un constat que tout archer expérimente).

Nous prendrons pour la suite $C_x^{tot} = 2$ pour mener des estimations numériques et donner des ordres de grandeur.

Si maintenant nous injectons cette valeur de $C_x$ pour calculer le coefficient balistique (3), il vient [8]

$$ \boxed{ C_b \approx \frac{1,225\ 10^{-3}}{2 \times 22,7} \times 0,28 \times 2 \times 10^{2} = 1,5\ 10^{-3}\quad \mathrm{m}^{-1} }\quad\quad\quad\quad (11) $$

Et donc l’intensité de la force de frottement a pour expression (2)

$$ {F}_{tr} = m C_b v^2 \approx 1,5 10^{-3} \left( \frac{22,7}{m} \right) \times m v^2 $$

La parenthèse est là pour rappeler que le coefficient balistique dépend inversement de la masse de la flèche (nb. la masse y est exprimée en gramme). Pour estimer quantitativement cette force qui va s’opposer au mouvement, on peut l’exprimer en terme de masse pour une vitesse de 100 m/s (on prend la valeur arrondie de l’accélération terrestre au niveau de la mer $g = 10$ m/s${}^2$) :

$$ F_{tr} = 1,5\ 10^{-3} \times 22,7 \ 10^{-3} \times 100^2 = 0,34 N \Leftrightarrow 0,034 kg = 34 g $$

Donc, on constate que la force totale de frottement qui s’oppose au mouvement de la flèche est équivalente à son poids ! Les conséquences sur son vol que l’on peut imaginer notables, seront abordées dans un prochain article. A suivre...